A Importância do Cálculo mental

A propriedade ao cálculo mental tem como fundamento estudos que afirmam que seus procedimentos se apoiam nas propriedades do sistema de numeração decimal e nas propriedades das operações e colocam em ação diferentes tipos de escrita numérica, como diferentes relações entre os números. As estratégias do cálculo são elaboradas a partir de resultados memorizados e dependem das concepções acerca do número.

            Os estudos apontam que o cálculo mental permite ao aluno se familiarizar com os números, podendo assim explorar diferentes caminhos de resolução de problemas, e que muitas vezes ocaluno realiza o cálculo mental devido suas experiências, mas não cosegue resolver algoritimos. E que o cálculo mental não é fazer conta depressa e sim, fazer conta de cabeça e com isso ele aprende estimativas, pecebe propriedades associativas e de decomposição.

            O cálculo mental  permite ao aluno, desenvolver seu próprio procedimento de cálculo sem se limitar a um processo único, assim o tornando mais autônomo, possuindo liberdade em escolher caminhos para obter  soluções aos problemas propostos, além de estimular o raciocínio. A utilização ou a escolha de um procedimento ocorre em função das possibilidades de memorização, das habilidades e dos conhecimentos que o aluno possui.

            Podemos  assim dizer que o cálculo mental  parece ser um campo privilegiado para testar as concepções numéricas dos alunos e sua disponibilidade, outra ideia é de considerar os espaços de trabalho intensivo, fazendo com que os alunos trabalhem rápido, buscando novas técnicas, comparando e fazendo escolhas entre elas.

            O desencadeamento da sessão de cálculo mental favorece a aprendizagem tanto do ponto de vista individual como do ponto de vista coletivo. Essa prática desenvolve habilidade como atenção, memória e concentração.

           Alguns exemplos:

                   Adição           

                  8 + 9 = 8 + 8 + 1 = 16 + 1 = 17

                    Estratégia - Formar pares de parcelas iguais.

                    38 + 6 = 38 + (2 + 4) = (38 + 2) + 4 = 40 + 4 = 44

                    Estratégia - Formar dezenas.

                    Subtração

                    53 – 35 = 53 +2 - 35 - 2 = 55 - 35 -2= 20-2=18

                    Estratégia – Compensar para igualar as unidades no aditivo e no subtractivo.

                    46 - 23 = 46 – 20 - 3 =(46-20)-3= 26-3= 23

                    Estratégia – Subtrair por partes.


         Multiplicação     

         60 X 700 =(6X10) X(7X100)= (6X7)X(10X100)=42X1000=42 000

         Estratégia – Produto de múltiplos de 10.


          8 X 99 = 8 x (100 – 1) = 800 – 8 = 79
          Estratégia – Contar para trás, aplicação da p. distributiva.


           Divisão

           96 : 2 =(100-4) : 2=  100: 2 – 4 : 2= 50 – 2 = 48

           Estratégia – Procurar o múltiplo de 10 mais próximo. 

           
          129 : 3 =(120 +9) : 3 = 120: 3 + 9:3= 40 + 3 = 43

          Estratégia – Decompor o dividendo.

Barry Wadsworth

   Em seu livro Jean Piaget para o Professor da Pré-escola e do 1º Grau, o autor Barry Wadsworth aborda as teorias piagetianas e suas aplicações na prática educacional.

   A principal mensagem da teoria de Piaget aos educadores e pais é a de que as crianças adquirem conhecimento e desenvolvem o raciocínio através de atividades que são úteis para elas e que estejam presentes no cotidiano.

Ouço e esqueço

Vejo e me lembro

   Faço e compreendo. 

                       Provérbio Chinês

   O ensino tradicional de matemática é inadequado, pois o método utilizado faz com que a criança aprenda através de representações e não a partir de fontes de conhecimento, limitando os conceitos que a criança adquire.

   O fracasso dos alunos em desenvolver compreensão matemática não está relacionado com falta de inteligência ou de habilidade e sim ao tipo de ensino ao qual as crianças são submetidas na escola.
   Mesmo nas séries iniciais, o ensino de matemática se faz por representações simbólicas, orais e escritas, dos conceitos e procedimentos para a resolução de problemas. Não se baseiam em métodos ativos, que permitem que o aluno desenvolva o raciocínio. As aulas focalizam a manipulação de números abstratos e estes tem significado vazio para a criança.
   Antes da criança lidar com números, ela precisa compreender o que eles significam, pois se não, contar se torna uma sequência verbal memorizada como uma canção. Mesmo em operações de adição, por exemplo, é notável a dependência da sequência verbal  memorizada, o que indica a falta de compreensão dos números.
   Segundo Piaget, o conhecimento lógico-matemático é abstraído pela criança a partir de suas ações sobre os objetos, ou seja, a compreensão é construída através de experiências. Qualquer compreensão que surgir sem experiência ativa é incompleta e não reflete o verdadeiro conhecimento.
   É importante que o professor esteja atento a isso e ofereça à criança a oportunidade de manusear e lidar com objetos e situações reais. Algumas ferramentas podem auxiliar como o ábaco, o material dourado, tampinhas de garrafa, palitos de sorvete, cédulas de dinheiro de brinquedo e até mesmo embalagens vazias de produtos do dia-a-dia.
   Com a diversificação de materiais e de situações, as crianças tem a oportunidade de construirem o pensamento concreto e saem da condição tradicional de lousa, caderno e lápis.
  

Malba Tahan

     Malba Tahan foi um professor de matemática, escritor e contador de histórias, que elaborava enigmas para começar suas aulas e iniciar suas explicações. Nascido no Rio de Janeiro em 6 de maio de 1985, seu verdadeiro nome era Júlio César de Mello.
     Sua publicação mais famosa é: "O Homem que calculava", que conta as aventuras de Beremiz, um árabe que gostava de resolver os problemas da vida com soluções matemáticas. Publicada em vários países, Malba Tahan nunca passou por perto do Oriente Médio. Em toda sua vida saiu do Brasil apenas para Argentina e Portugal.
     Seu nome ficou tão identificado com os números que a data do seu aniversário (6 de maio) tornou-se o Dia Nacional da Matemática.
     A obra "O Homem que calculava" é dividida em vários capítulos como se fosse um diário. Cada capítulo corresponde a um dia de aventura de Beremiz, que resolve problemas reais e que parecem impossíveis, como por exemplo: dividir 35 camelos por três irmãos.
     Através dos contos, histórias e fábulas, Malba Tahan ensina uma matemática fácil de ser compreendida, simples, divertida e fascinante. Capaz de prender a atenção de adultos e crianças devido a maneira óbvia mas que passa imperceptível por muitos.

Texto adaptado das Revistas Nova Escola e Ciência Hoje das Crianças.
Livro consultado: "O Homem que Calculava" - Malba Tahan

Aprendendo a distância e o valor do dinheiro...

 

     As atividades propostas para Luisa, de 8 anos e estudante do 3º ano do Ensino Fundamental, teve como objetivo, verificar se ela possui a noção de como calcular a distância de um local ao outro e noção de dinheiro numa compra, o quanto receberia de troco, por exemplo.
     Ao final da atividade, observou-se que Luisa inclui a matemática no seu cotidiano. Acertou todos os resultados, refez sozinha as correções necessárias e conclui-se que a criança está apta a realizar suas compras pois saberá se seu troco está correto, se possui dinheiro suficiente e caso se desloque de um local ao outro, saberá a distância a ser percorrida, ou quanto falta para chegar ao destino se já estiver no caminho.

                Atividades:

   Atividade matemática proposta para crianças de 08 anos do terceiro ano do ensino fundamental.
              
   A atividade foi desenvolvida com a Luisa de 08 anos do terceiro ano,a mesma  foi proposta pelo fato das atividades a seguir ja serem conhecidas e desenvolvidas na escola com a criança .

 

 

Situações cotidianas em que as operações matemáticas são utilizadas

A matemática e suas operações fundamentais são muito utilizadas em nosso cotidiano, possuindo diversas aplicações em nossas atividades. Seguem alguns exemplos:

- Compras no supermercado. Quanto dinheiro possuímos e qual o valor que vamos pagar;

- Quantidade de ingredientes em receitas culinárias;

- Proporcionalidade. Se 1 kg de batata custa R$4,00, quanto vou pagar em meio quilo?

- Notas da escola. Precisamos calcular nossa média do bimestre;

- Ao nos pesarmos em uma balança, engordamos ou emagrecemos? Quanto?

- Medindo nossa altura. Quantos cms crescemos nos últimos meses?

- Soma das calorias dos alimentos consumidos em uma refeição;

- Para a confecção de determinada peça de roupa, quanto tecido será necessário?

- Cálculo do horário correto para tomar uma medicação prescrita pelo médico, por exemplo de 8 em 8 horas;

- Velocidade dos veículos e a velocidade permitida pelas leis de trânsito;

- Cálculo do consumo de gasolina de um determinado veículo;

- Ao comparar distâncias entre localidades;

- Cálculo da área de um terreno;

- Ao mudar um objeto ou móvel de lugar em nossa casa é necessário saber suas medidas, para saber se o mesmo caberá em outro espaço;

- Jogos de tabuleiro, dama, dominó, bingo;

- Cálculo de juros de compras parceladas;

- Financiamentos de veículos e imóveis;

- Realizações de empréstimos;

- Compras com cartão de crédito e o valor total da fatura mensal;

- Em uma compra do dia- a- dia sempre conferimos o troco;

- Descontos por pagamentos antecipados de faturas;

- Ao conferir os valores de nosso extrato bancário.

         

                       

Trabalho com o Ábaco

Através do ábaco reforçamos o trabalho com o sistema de numeração.

 

 

7 que vale como 7

1 que vale como 10

4 que vale como 400

2 que vale como 2000

Não podemos esquecer:

Na unidade contamos de um em um

Na dezena contamos de dez em dez

Na centena contamos de cem em cem

No milhar contamos de mil em mil

   

Perguntas desafiadoras

Esta atividade é para uma criança do 3º ano com 8 anos de idade, sendo utilizado o ábaco com instrumento de ajuda.



1. Viviane tem 15 bonecas e doou 4 delas. Com quantas bonecas ela ficou?

                                 

R.




2. Numa festa estavam 20 meninas e nenhum menino. Depois , chegaram 19 meninos. Quantas crianças foram na festa?
                                             
R.



3. Felipe tem 20 reais e sua irmã tem 12 reais. Quantos reais Felipe tem a mais que sua irmã?

                                          

R.



4. Junte quatro dezenas. Subtraia duas dezenas e divida por 2. Qual é o número obtido?

                    


R.





Bibliografia revista nova escola

Atividades com ábaco

                             
   
   Primeiramente é importante permitir que a criança manuseie e explore o material como quiser. Depois é necessário explicar a ordem das unidades, dezenas, centenas e o posicionamento das peças no ábaco.
    As atividades tem como objetivo desenvolver o conceito de ordem posicional dos números e a representação de quantidades.

       Atividades que utilizam o ábaco como recurso

       - Ditado de números: as crianças devem fazer a decomposição dos números ditados no ábaco.
        Exemplos: 5, 26, 314, 978, 1291...
    A cada número ditado observar as dificuldades e fazer as intervenções necessárias.

    - Adições e subtrações com números de dois algarismos no ábaco (demonstrando que unidades são somadas ou subtraidas com unidades e dezenas com dezenas).
       Exemplos: 48 + 85      254 + 325

       - Exercício para o caderno
       Indique os números nos ábacos através de desenho:

       a) 356

           b) 1285

          c) 3541

     Conclusão

   Com a aplicação das atividades foi possível verificar entusiasmo e um resultado positivo no aprendizado dos alunos, pois geralmente os mesmos resolvem as operações propostas de forma mecânica, sem compreender os conceitos de unidade, dezena, centena... O ábaco possibilita um melhor entendimento do aluno em relação as operações realizadas e ao valor posicional do número.
     Esse material é de fácil manuseio e enriquece o trabalho em sala de aula, reforçando a aprendizagem e tornando a aula mais dinâmica e produtiva.

Tabela de diferentes tipos de ábacos

IMAGENS	LOCAL	COMO ERA UTILIZADO
	Roma Antiga	O método normal de cálculo na Roma Antiga era mover bolas de contagem numa tábua própria para efeito. Linhas marcadas indicavam unidades, meias dezenas, dezenas, etc., como na numeração romana.
	China	Existem duas bolas em cada haste na parte de cima e cinco na parte debaixo, para números decimais e hexadecimais. Ao contrário do simples ábaco utilizado na escola, muitas técnicas eficientes para o suanpan foram feitas para calcular operações que utilizam a adição, subtração, multiplicação, divisão, raízes quadrada e cúbicas a uma alta velocidade.
	Japão	Uma pessoa que manuseava um ábaco com agilidade conseguia fazer uma multiplicação com cinco algarismos.
	Rússia	Normalmente tem apenas um lado comprido, com dez bolas em cada fio (exceto um que tem quatro bolas para frações que quartos de rublo). Este costuma estar do lado do utilizador. O ábaco russo é habitualmente utilizado na vertical, com os fios da esquerda para a direita, ao modo do livro. Durante a manipulação, as bolas são movidas para a direita. Para mais fácil visualização, as duas bolas do meio de cada corda costumam estar com cores diferentes das outras. A bola da esquerda da corda dos milhares costuma estar pintada de maneira diferente.

Ábaco

     É um instrumento para cálculos que acompanha a humanidade há séculos. Há evidências de que muitos séculos antes de Cristo já eram usados ábacos para efetuar as quatro operações no Egito, Mesopotâmia, Índia e China.

     Há muitos tipos de ábacos. Os primeiros parecem ter sido de areia, porque a palavra ábaco parece derivar da palavra que significa pó em algumas línguas semíticas.

Ábaco de areia

     Na contagem de um rebanho, para cada animal que passasse, fazia-se um risco no compartimento das unidades. Quando havia des riscos nesse compartimento, eles eram apagados e um risco era feito no compartimento das dezenas e assim por diante. O ábaco abaixo registra a passagem de 513 animais.

Soroban/Suan phan

     Japoneses e chineses foram os que mais aproveitaram do ábaco, desenvolvendo um modelo sofisticado chamdo soroban no Japão e suan phan na China que ainda hoje se faz presente em escolas desses países.

     Em cada fileira não há dez bolinhas. Embora não pareça, esses instrumentos também se baseiam em contagem por grupos de dez.

     A necessidade do ábaco nas civilizações antigas decorria em parte da representação numérica usada, que não facilitava cálculos escritos, como fazemos hoje. Além disso, os antigos não dispunham de papel para registrar os cálculos. No ocidente, o ábaco deixou de ser usado por volta do ano 1500, época em que os navegadores portugueses chegaram às terras que atualmente formam o Brasil. O ábaco foi superado pela introdução da escrita decimal com algarismos indo-arábicos qeu usamos até hoje. Essa representação de números possibilitou desenvolver técnicas para efetuar as operações.

     O ábaco mais adequado para uso em aula é o de pinod. Para compreender seu uso, acompanhe a adição 25+18:

     Veja também um ábaco que pode ser improvisado caso o professor não dispõe de um ábaco de pinos:





Dicas para resolução de problemas

     Para facilitar a resolução de problemas é importante que o aluno esteja atento a algumas coisas. Aqui estão algumas dicas que facilitam o aluno a encontrar soluções para situações-problema:

     - Ao ler um problema, é bom que o aluno imagine  a situação proposta nele e lembre-se de outros problemas parecidos que já tenha resolvido antes.

     - Ler várias vezes, se necessário e desenhar a situação para  visualizar e ententer melhor o problema.

     - Localizar a pergunta do problema e as informações necessárias para resolvê-lo. Atenção para  problemas com dados a mais ou insuficientes.

     - Fazer uma estimativa do resultado antes de resolvê-lo, facilita na hora de analisar a resposta. Se  a estimativa e o cálculo tiverem resultados muito diferentes é bom rever os dois.

     - Fazer uma revisão do problema antes de dar a resposta final.

     - Realizar operações inversas ou a prova real dos cálculos.

     - Registrar os cálculos e organizar a resposta de forma clara.

     Com essas dicas o alunos sentirá mais facilidade e segurança para resolver os problemas.

Brincadeiras nas aulas de matemática

   Ensinar matemática é desenvolver o raciocínio lógico, estimular o pensamento criativo e a capacidade de resolver situações problema. Sendo assim, por que não utilizar alternativas que aumentam a motivação para a aprendizagem?

    O uso de jogos e brincadeiras nas práticas pedagógicas faz com que os alunos gostem de aprender, mudando a rotina da classe e despertando o interesse dos envolvidos. Dessa forma também é possível desenvolver concentração, organização, autoconfiança e socialização, aumentando as interações entre todos.

   Muitas das atividades lúdicas envolvem várias competências do aluno ao mesmo tempo, pois em sua maioria exigem o corpo da criança em movimento e a reflexão lógica desses movimentos. Assim é possível desenvolver a competência corporal e competências mais complexas como contar, medir, comparar e representar o pensamento através da fala ou do desenho.

   O educador deve transformar a sala de aula em uma oficina de trabalho, um espaço acolhedor e alegre, onde a cooperação encoraja os alunos a explorarem possibilidades e levantarem hipóteses. Os erros e falhas são utilizados de uma maneira que gerem novos conhecimentos e não punição.

   É importante que o professor participe das atividades e brincadeiras que propõe, pois fazendo isso de maneira prazerosa, ele é visto como um modelo e um companheiro.

   Como exemplos de brinacadeiras infantis que interligam diferentes áreas do conhecimento e também desenvolvem o raciocínio matemático podemos citar a amarelinha, bola de gude, brincadeiras com corda, com bola e de roda. Essas brincadeiras fazem parte do patrimônio histórico social de nossa sociedade e muitas vezes são esquecidas e deixadas em segundo plano pela escola e pela família.

   As brincadeiras não devem ser propostas apenas uma vez, mas sim por várias semanas para permitir a compreensão das regras e para a evolução pessoal de cada criança em relação à atividade, onde o professor fará o acompanhamento e as intervenções necessárias.

Amarelinha



   Os recursos necessários para esse jogo são simples: uma pedrinha ou tampa de garrafa e um diagrama riscado no chão. A amarelinha tradicional é a mais conhecida, mas também há outras variações como amarelinha caracol, rocambole, inglesa, entre outras.
   Essa tradicional brincadeira desenvolve a noção de número, de medida e de geometria. Além disso, é possível trabalhar com as crianças: sequência numérica, reconhecimento de algarismos, comparação de quantidades, avaliação de distância e de força e localização espacial.

Bola de gude

   A bola de gude permite muitas variações de brincadeiras, mas em sua maioria, são jogos de alvo, onde o participante acerta outras bolinhas para atingir um alvo. Os jogadores desenvolvem coordenação motora e são levados a elaborarem estratégias de arremesso e terem precisão de movimentos. Ao brincar com bolas de gude as crianças tem oportunidade de desenvolver percepção espacial e noções de direção, além de raciocínio numérico quando contam e separam as bolinhas ou memorizam o número de tentativas que realizaram. 



Brincadeiras com corda

   As brincadeiras com corda desenvolvem habilidades motoras, sincronização de movimentos e atenção. Em relação ao ensino de matemática o professor pode explorar as contagens, sequências numéricas, noção de velocidade, tempo, altura e distância, além da percepção espacial.

   A corda é um brinquedo que permite muitas variações de atividades: cabo de guerra, cobrinha, zerinho, pular corda, bater corda ao contrário.

   Ao propor que as crianças pulem corda, o professor pode ensinar "ladainhas" que são recitadas enquanto pulam ou batem a corda. Isso permite que as crianças desenvolvam noções espaço-temporais, pois coordenam o ritmo ao movimento de saltar corda.

Referência bibliográfica:
Brincadeiras Infantis nas Aulas de Matemática  - 1ª edição - Ed. Artmed
Kátia Stocco Smole
Maria Ignez Diniz
Patricia Cândido
 





Como surgiu a noção de números 

   

    O homem ao começar  desenvolver várias atividades no campo, como a pecuária, agricultura, venda e compra de produtos e com a produção aumentando com o passar do tempo, começou a ter dificuldade de controlar o que entrava e o que saia, tendo a necessidade de procurar outros mecanismos de contar seus animais, os produtos que vendiam e o que compravam.

   Sendo assim os números e suas funções matemáticas surgiram  para suprir as necessidades sociais.

   

                                   

         Numeração e Sistemas de numeração

         Numeração

A numeração é construída através do nosso cotidiano, sendo colocado por variadas relações de objetos, ações, etc. Não sabemos exatamente como ocorre essa construção (da numeração) quando crianças, mas sabemos que começa a construir com palavras como: um, dois, três...mas que ainda não se entende seu significado.

Já na escola a criança deve primeiro contar, juntar e contar o total, repartir e contar novamente  quanto ganha cada um, quanto falta e assim por diante. E dessa forma o professor obterá a resposta da criança de acordo com suas estruturas mentais. Pois o número da construção mental se faz a partir das relações estabelecidas através de objetos  como dito anteriormente. E dessa forma podemos dizer que cabe ao professor e à sociedade criar tarefas e ambientes ricos em relações e motivações.   

            

Sistema de numeração

O sistema de numeração é um conjunto de números que são representados por numerais de uma forma consistente e que suas condições ideais são de representar grande quantidade de números, dar uma única descrição ao número representado e refletir as estruturas algébricas e aritméticas dos números.

Sistema decimal

O sistema decimal é um sistema que utiliza a base dez, ou seja, que dez unidades de uma ordem qualquer formam uma de ordem superior. Então as unidades constitutivas dos números são agrupadas em classes de três ordens.

A primeira classe tem como ordem as centenas, dezenas e unidades. A primeira ordem corresponde a unidade, que são os números um, dois, três... 

Outra ordem é a das dezenas que é dez vezes o número correspondente na ordem anterior e como exemplo podemos citar  dez ( uma dezena), vinte ( duas dezenas)  e assim sucessivamente.

 E por fim a terceira ordem  é número da centena que é dez vezes a dezena.

 Então podemos dizer que:

10 unidades = 1 dezena

10 dezenas = 1 centena

10 centenas = 1 unidade de milhar

A segunda classe é a classe dos milhares que são de ordem das unidades de milhar, que corresponde a mil; dezena de milhar  corresponde por dez mil e centena de milhar  é de cem mil. Já a terceira classe corresponde à classe dos milhões, bilhões, trilhões, etc..

Existe também outros tipos de sistemas numéricos como: sistema binário, sistema octal, sistema hexadecimal, sistema de numeração duodecimal e prefixos binários.

           

                                         

Operações numéricas

Adição

   A adição é a primeira operação a ser ensinada por ser a base para as outras. Seu significado é: juntar, reunir, agrupar, acrescentar. Representada pelo sinal "+", no Ensino Fundamental I, os alunos aprendem o conteúdo de acordo com a idade. No primeiro ano, por exemplo, o objetivo é fazer com que o aluno consiga juntar e acrescentar em contextos significativos. Conforme o tempo vai passando, a aprendizagem é focada no significado, adição com várias parcelas, adição de números decimais, adição de fração, entre outras.

Subtração

   Subtração é tirar, diminuir, reduzir, comparar duas quantidades (quanto a mais ou quanto a menos). Representada pelo sinal "-", o aluno pode começar aprender através de desenhos, materiais concretos como lápis, canetas, bolinhas e depois aprender  algoritmo sem troca, com troca, subtração decimal, o significado de quanto falta e subtração de frações.



 

Multiplicação

   Pelo sentido do dicionário, multiplicação é a operação pela qual se repete um número tantas vezes quantas forem as unidades de outro, para formar-se um produto. Em outras palavras, a multiplicação é o resultado de quando queremos adicionar várias vezes a mesma quantidade. O sinal que representa essa operação é : "x" e uma das multiplicações básicas, mas que assustam muitos alunos, de diversas idades, é a tabuada. Talvez pelo fato de nunca entenderem e sempre decorarem.

   A multiplicação é ensinada no Ensino Fundamental I, com um algarismo no multiplicador e depois com dois, de número decimal por número natural e os padrões multiplicativos por 10, 100 e 1000.

 

Divisão

   Desde pequenos, aprendemos a dividir e repartir nossas coisas. Em matemática, divisão significa repartir em partes iguais. Ao entrar na escola, além disso, aprendemos a noção de metade e descobrir quantas vezes uma quantidade cabe na outra. Um bom recurso para introduzir a divisão é através de desenhos. Ao longo dos anos, operações de divisão se complicam e aparecem: as divisões com resto, como formar grupos, divisão por estimativa, divisão usando número decimal, divisor de um, dois ou até mais algarismos e até divisão com quociente decimal. O sinal que representa a divisão é:



Referências Bibliográficas:

Dicionário Escolar da Língua Portuguesa

Cia Editora Nacional, 2ª ed, 2008, SP. UniABC

Guia de recursos didáticos

Matemática - Conviver 1º ano

Luiz Márcio Imenes

Marcelo Lellis

Estela Milani

http://peregrinacultural.wordpress.com acesso em 30/08/12 às 21h40

http://matematicaseis.wordpress.com acesso em 30/08/12 às 21h52